*
統計力學中的化學勢（chemical potential）和系統的粒子數有關，以電子為例，由於屬於費米子，故遵守
$$n(E)=\frac{g(E)}{e^{\alpha+E/kT} + 1}$$
其中 $g(E)$ 的表示可以先寫下free particle的density of state （空間和動量空間的分佈）
$$ g(p) dp =\frac{1}{h^3} 4\pi p^2 dp $$
加上電子的兩個自由度 $g_e(=2)$得到
$$ g(p) dp =g_e \frac{1}{h^3} 4\pi p^2 dp $$
然後用 $ p=\sqrt{2m_e E} $ （非相對論）代換得
$$ n_e(E)dE= g_e\frac{4\pi}{h^3}(2m_e^3)^{1/2}\frac{E^{1/2}}{e^{\alpha+E/kT} + 1}dE $$
其中的 $\alpha =-\mu/kT$ 其實會在積分裡扮演 normalization 的角色，由總粒子數等於 $n_e$ 由此條件可以寫下：
$$ n_e = \int n_e(E)dE $$
原則上可以由此一計算積分得到 $n_e=F(\mu, T)$，進而得到 $\mu(n_e, T)$
不過上述的積分並不直接，如果以古典情況下的 Boltzmann 分佈來近似則比較容易計算：
$$ n_e = \int g_e \frac{4\pi}{h^3}(2m_e^3)^{1/2} E^{1/2}e^{ - \alpha - E/kT} dE
= g_e \left( \frac{2\pi m_e kT}{h^2} \right)^{3/2} e^{-\alpha}$$
定義 $n_Q\equiv \left( \frac{2\pi m_e kT}{h^2} \right)^{3/2} $ 並記得 $\alpha =-\mu/kT$，可以得到
$$ \mu = kT ln \left( \frac{n_e}{g_e n_Q}\right) $$
由於推導過程中採用的近似此式僅適用於非簡併態、非相對論速度（$n \ll n_Q$、$ kT \ll m_e c^2$）下的情況，由此式也可以看出在這樣的條件下 $\mu < 0$。
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參考：
上課筆記
Clayton Chap 1.
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2015-12-02
2015年12月2日 星期三
熱平衡時光子的能量分佈（黑體輻射）
*
一個系統中的粒子可以處於許多不同的「態」（例如能量、角動量等），而統計力學告訴我們根據不同的粒子性質其「最可能分佈」（也就是系統達到熱平衡時的分佈）會符合不同的統計力學公式：
$\epsilon$ ：能量（粒子可以擁有的不同能量）；
$n(\epsilon)$：能量等於 $\epsilon$ 的粒子數量；
$g(\epsilon)$ ：系統中能量為 $\epsilon$ 的所有可能「態」的數目； 由於不同的態可以具有相同的能量，當我們選擇僅以能量來作標簽或區分時，就需要把對應到特定能量下的各種「子態」另外計算進來才完整。
$\alpha=-\mu /kT$ ； $\mu$ ：粒子的化學勢（total chamical potential）。
光子是玻色子，而且其 $\alpha=0$， 因此
$$ n(\epsilon)=\frac{g(\epsilon)}{e^{\epsilon/kT} - 1} $$
以上的部分只跟粒子的種類有關，接下來計算 $g(\epsilon)$ 時考慮的是能階的分佈，也就視當下討論的系統而定了。最廣泛運用的情況之一是氣體為自由粒子（free particle）的系統，此時容許的能量的分佈是連續的，也就是說並不像束縛在原子中的電子只能處在不連續的能態，所以 $g(\epsilon)$ 常以能態密度 density of state 的方式來考慮：$g(\epsilon)d\epsilon$ 即為單位體積內在 $\epsilon$ 的附近 $d\epsilon$ 範圍內的態的數目。同樣的概念若用動量來做標籤則寫成 $g({\bf p}) dp_x dp_y dp_z$ ，代表了單位空間體積單位動量空間（momentum space）（$dp_x dp_y dp_z$） 內之態的數目，並有
$$g({\bf p}) dp_x dp_y dp_z$ =\frac{1}{h^3} dp_x dp_y dp_z$$
在均向性的條件下，可進一步只用動量的大小來作為標籤：
$$g(p) dp =\frac{1}{h^3} 4\pi p^2 dp$$
又由於以上只考慮了空間以及動量空間的分佈，而對光子來說還有兩個偏振方向的獨立自由度（電子也一樣有兩個額外維度，所以下式也適用於電子），因此最後的結果為
$$g(p) dp =\frac{2}{h^3} 4\pi p^2 dp$$
透過關係式 $ p_{photon} = \frac{h}{\lambda} = \frac{h\nu}{c}$ 可以將上式代換以光子的頻率 $\nu$ 表示
$$ g(\nu) d\nu =\frac{8\pi \nu^2}{c^3} d\nu $$
所以（熱平衡時）光子的能量分佈可以表示為
$$ u(\nu)d\nu = E_{\nu} n(\nu) d\nu = h\nu\, \frac{g(\nu) d\nu}{e^{h\nu /kT} - 1}=
\frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \frac{d\nu}{e^{h\nu /kT} - 1} $$
回顧上述過程，黑體輻射可以拆成幾個部分來理解：
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註：
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參考資料：Clayton Chap. 1
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2015-12-01
「玻色子的統計」
一個系統中的粒子可以處於許多不同的「態」（例如能量、角動量等），而統計力學告訴我們根據不同的粒子性質其「最可能分佈」（也就是系統達到熱平衡時的分佈）會符合不同的統計力學公式：
- 玻色子（例如光子）$$ n(\epsilon)=\frac{g(\epsilon)}{e^{\alpha+\epsilon/kT} - 1} $$
- 費米子（例如電子）$$ n(\epsilon)=\frac{g(\epsilon)}{e^{\alpha+\epsilon/kT} + 1} $$
- 若在古典的條件下則簡化回歸到 Maxwell-Boltzmann 分佈 $$ n(\epsilon)=\frac{g(\epsilon)}{e^{\alpha+\epsilon/kT} + 0} $$
$\epsilon$ ：能量（粒子可以擁有的不同能量）；
$n(\epsilon)$：能量等於 $\epsilon$ 的粒子數量；
$g(\epsilon)$ ：系統中能量為 $\epsilon$ 的所有可能「態」的數目； 由於不同的態可以具有相同的能量，當我們選擇僅以能量來作標簽或區分時，就需要把對應到特定能量下的各種「子態」另外計算進來才完整。
$\alpha=-\mu /kT$ ； $\mu$ ：粒子的化學勢（total chamical potential）。
光子是玻色子，而且其 $\alpha=0$， 因此
$$ n(\epsilon)=\frac{g(\epsilon)}{e^{\epsilon/kT} - 1} $$
「光子氣體的能態密度」
以上的部分只跟粒子的種類有關，接下來計算 $g(\epsilon)$ 時考慮的是能階的分佈，也就視當下討論的系統而定了。最廣泛運用的情況之一是氣體為自由粒子（free particle）的系統，此時容許的能量的分佈是連續的，也就是說並不像束縛在原子中的電子只能處在不連續的能態，所以 $g(\epsilon)$ 常以能態密度 density of state 的方式來考慮：$g(\epsilon)d\epsilon$ 即為單位體積內在 $\epsilon$ 的附近 $d\epsilon$ 範圍內的態的數目。同樣的概念若用動量來做標籤則寫成 $g({\bf p}) dp_x dp_y dp_z$ ，代表了單位空間體積單位動量空間（momentum space）（$dp_x dp_y dp_z$） 內之態的數目，並有
$$g({\bf p}) dp_x dp_y dp_z$ =\frac{1}{h^3} dp_x dp_y dp_z$$
在均向性的條件下，可進一步只用動量的大小來作為標籤：
$$g(p) dp =\frac{1}{h^3} 4\pi p^2 dp$$
又由於以上只考慮了空間以及動量空間的分佈，而對光子來說還有兩個偏振方向的獨立自由度（電子也一樣有兩個額外維度，所以下式也適用於電子），因此最後的結果為
$$g(p) dp =\frac{2}{h^3} 4\pi p^2 dp$$
「光子的能量分佈：黑體輻射光譜」
透過關係式 $ p_{photon} = \frac{h}{\lambda} = \frac{h\nu}{c}$ 可以將上式代換以光子的頻率 $\nu$ 表示
$$ g(\nu) d\nu =\frac{8\pi \nu^2}{c^3} d\nu $$
所以（熱平衡時）光子的能量分佈可以表示為
$$ u(\nu)d\nu = E_{\nu} n(\nu) d\nu = h\nu\, \frac{g(\nu) d\nu}{e^{h\nu /kT} - 1}=
\frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \frac{d\nu}{e^{h\nu /kT} - 1} $$
回顧上述過程，黑體輻射可以拆成幾個部分來理解：
- 個別光子的能量 $h\nu$
- 自由粒子的能態密度 $g(p)dp = \frac{1}{h^3} 4\pi p^2 dp$ （不包含內部自由度）
- 光子的兩個內部自由度 2
- 玻色子的統計 $\frac{1}{e^{h\nu /kT} - 1} $
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註：
- 粒子的化學勢 $\mu$ 意義為固定體積、固定熵的情況下加入單位粒子時，系統的能量變化。透過總粒子數的條件 $n=\int n(\epsilon)d\epsilon$ 可以將 $\mu$ 表示為 $n$ 及 $T$ 的涵數，用 Maxwell-Boltzmann 比較容易計算。
- 在這個討論中的 $g(p)$ 和內部自由度 2 因為起源不同所以分開討論，但概念上應該都對應到一開始的 $g(\epsilon)$ 之中，都貢獻到同一個能量標簽之下可以容許的子態數量。
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參考資料：Clayton Chap. 1
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2015-12-01
2015年11月27日 星期五
化學勢的正負
*
想像將一熱力學系統以可逆過程和周圍交換熱能（$dQ=TdS$）、體積可以改變、並可以和周圍交換粒子，則這些過程造成的系統內能 $U$ 的變化可以寫成：
$$ dU = TdS - PdV + \mu dN $$
其中 $T$ 為溫度、 $S$ 為熵、$P$ 為壓力、$V$ 為體積，最後一項則牽涉到粒子數 $N$ 的變化：當粒子數改變 $dN$ 時，系統的能量會增加 $\mu dN$，$\mu$ 稱為化學勢（Chemical Potential）。其意義可視為「固定體積、固定熵的情況下加入一顆粒子時，系統的能量變化」
$$ \mu=\left.\frac{\partial U}{\partial N}\right|_{\rm{S,V}} $$
由此定義很直覺的會認為 $\mu$ 應該是正值，因為加入一顆粒子會帶來其本身的能量不是嗎？但實際上對一般的古典氣體來說卻是往往是負的。這是因為根據上述化學勢的定義我們在加入粒子之後還要讓系統的體積和熵應保持不變，這樣子系統的能量改變才是真正的 $\mu$。
固定體積簡單，但是熵和系統容許的微觀組態多寡直接相關，一般加入一顆粒子會使得可容許的組態數量變多，也就是熵會增加。所以如果要保持熵的不變，系統還必需損失一些能量（降溫）才符合熵不改變的定義，這樣一來系統總能量的變化就很可能是負的了。換句話說，負的 $\mu$ 表示當系統加入一個新粒子時，其能量要下降才能夠保持熵不變（假設體積不變）。（細節可見參考的連結）
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參考：Understanding the chemical potential Cook & Dickerson 1995
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2015-11-27
想像將一熱力學系統以可逆過程和周圍交換熱能（$dQ=TdS$）、體積可以改變、並可以和周圍交換粒子，則這些過程造成的系統內能 $U$ 的變化可以寫成：
$$ dU = TdS - PdV + \mu dN $$
其中 $T$ 為溫度、 $S$ 為熵、$P$ 為壓力、$V$ 為體積，最後一項則牽涉到粒子數 $N$ 的變化：當粒子數改變 $dN$ 時，系統的能量會增加 $\mu dN$，$\mu$ 稱為化學勢（Chemical Potential）。其意義可視為「固定體積、固定熵的情況下加入一顆粒子時，系統的能量變化」
$$ \mu=\left.\frac{\partial U}{\partial N}\right|_{\rm{S,V}} $$
由此定義很直覺的會認為 $\mu$ 應該是正值，因為加入一顆粒子會帶來其本身的能量不是嗎？但實際上對一般的古典氣體來說卻是往往是負的。這是因為根據上述化學勢的定義我們在加入粒子之後還要讓系統的體積和熵應保持不變，這樣子系統的能量改變才是真正的 $\mu$。
固定體積簡單，但是熵和系統容許的微觀組態多寡直接相關，一般加入一顆粒子會使得可容許的組態數量變多，也就是熵會增加。所以如果要保持熵的不變，系統還必需損失一些能量（降溫）才符合熵不改變的定義，這樣一來系統總能量的變化就很可能是負的了。換句話說，負的 $\mu$ 表示當系統加入一個新粒子時，其能量要下降才能夠保持熵不變（假設體積不變）。（細節可見參考的連結）
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參考：Understanding the chemical potential Cook & Dickerson 1995
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2015-11-27
分部積分
*
基本原理：
$$ duv = udv + vdu $$ $$ udv = duv - vdu $$ $$ \int_{a}^{b} udv = \int_{a}^{b} duv - \int_{a}^{b} vdu $$
所以
$$ \int_{a}^{b} udv = \left. uv\right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu $$
實際考慮一函數 $F(x)$ 的積分
$$\int_{a}^{b} F dx$$
試著將 $\int F dx$ 轉化成 $\int udv$ 形式以用分部積分計算：將 $F(x)$ 拆成 $P(x)Q(x)$，則可寫成：
$$ \int Fdx = \int PQ dx = \int P d \tilde{Q}$$
其中 $\tilde{Q}$ 為 $Q$ 對 $x$ 的積分（$Q = \frac{d}{dx}\tilde{Q}$、$d \tilde{Q} = Q dx $）。與 $\int udv$ 比較後可寫下：
$$ \int_{a}^{b} PQ dx = \int_{a}^{b} Pd\tilde{Q}= \left. P\tilde{Q}\right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \tilde{Q}dP $$
令$P^\prime = \frac{d}{dx}P$（$dP = P^\prime dx$）：
$$ \int_{a}^{b} PQdx = \left. P\tilde{Q}\right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} P^\prime \tilde{Q}dx $$
這表示我們一開始在拆解 $F$ 時希望找到的是一個容易積分的 $Q$ 以及容易微分的 $P$。如果邊界條件使得 $\left. P\tilde{Q} \right| _{a}^{b}$ 一項容易計算（例如代入後為零），則關鍵就在於函數 $P^\prime \tilde{Q} $是否容易積分了。
以 $F=xe^{-x}$ 為例，有兩種方式直接拆解：
一：$P=x, Q=e^{-x}$ 則 $P^\prime = 1, \tilde{Q} = -e^{-x} $。 $P^\prime \tilde{Q} = -e^{-x}$容易積分。
二：$P=e^{-x}, Q=x$ 則 $P^\prime = -e^{-x}, \tilde{Q} = \frac{x^2}{2} $。$P^\prime \tilde{Q} = - \frac{x^2}{2}e^{-x}$並沒有比較容易積分。
因此，採取方法一為宜。可得
$$ \int_{a}^{b} xe^{-x} dx = \left. -xe^{-x} \right|_{a}^{b} -( \int_{a}^{b} -e^{-x}dx) = \left. -xe^{-x} \right|_{a}^{b} - \left. e^{-x} \right|_{a}^{b}$$
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2015-11-27
基本原理：
$$ duv = udv + vdu $$ $$ udv = duv - vdu $$ $$ \int_{a}^{b} udv = \int_{a}^{b} duv - \int_{a}^{b} vdu $$
所以
$$ \int_{a}^{b} udv = \left. uv\right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu $$
實際考慮一函數 $F(x)$ 的積分
$$\int_{a}^{b} F dx$$
試著將 $\int F dx$ 轉化成 $\int udv$ 形式以用分部積分計算：將 $F(x)$ 拆成 $P(x)Q(x)$，則可寫成：
$$ \int Fdx = \int PQ dx = \int P d \tilde{Q}$$
其中 $\tilde{Q}$ 為 $Q$ 對 $x$ 的積分（$Q = \frac{d}{dx}\tilde{Q}$、$d \tilde{Q} = Q dx $）。與 $\int udv$ 比較後可寫下：
$$ \int_{a}^{b} PQ dx = \int_{a}^{b} Pd\tilde{Q}= \left. P\tilde{Q}\right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \tilde{Q}dP $$
令$P^\prime = \frac{d}{dx}P$（$dP = P^\prime dx$）：
$$ \int_{a}^{b} PQdx = \left. P\tilde{Q}\right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} P^\prime \tilde{Q}dx $$
這表示我們一開始在拆解 $F$ 時希望找到的是一個容易積分的 $Q$ 以及容易微分的 $P$。如果邊界條件使得 $\left. P\tilde{Q} \right| _{a}^{b}$ 一項容易計算（例如代入後為零），則關鍵就在於函數 $P^\prime \tilde{Q} $是否容易積分了。
以 $F=xe^{-x}$ 為例，有兩種方式直接拆解：
一：$P=x, Q=e^{-x}$ 則 $P^\prime = 1, \tilde{Q} = -e^{-x} $。 $P^\prime \tilde{Q} = -e^{-x}$容易積分。
二：$P=e^{-x}, Q=x$ 則 $P^\prime = -e^{-x}, \tilde{Q} = \frac{x^2}{2} $。$P^\prime \tilde{Q} = - \frac{x^2}{2}e^{-x}$並沒有比較容易積分。
因此，採取方法一為宜。可得
$$ \int_{a}^{b} xe^{-x} dx = \left. -xe^{-x} \right|_{a}^{b} -( \int_{a}^{b} -e^{-x}dx) = \left. -xe^{-x} \right|_{a}^{b} - \left. e^{-x} \right|_{a}^{b}$$
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2015-11-27
2015年11月13日 星期五
純量、向量、張量
純量（scalar）是最容易理解的，在空間中的某一點記錄下一個數字，例如你指尖所在地方的高度，就是一個純量。空間中不同位置都有自己的數字，形成一個純量場。
向量（vector）也相對直覺，在空間中的某一點記下一個沿著某個方向、俱有特定大小的數字，例如你指尖所在的水流位置水正在往哪個方向流動、流得多快，就是一個向量。空間中不同位置都有自己的有方向的數字，形成一個向量場。
張量（tensor）就比較抽象，最常用來說明的範例大概是應力張量（stress tensor），想像一個很小的方塊，在其三個方向的面上各自可以受到作用力，這個作用力有自己的方向且並不一定要和這個受力的面垂直，有點像是你可以對著桌面向下壓（力和受力面垂直），也可以沿著桌面摩擦它（力和受力面平行）。因此針對三個方向各自還有三個方向的受力，共需要九個數字來記錄了。例如你可以問 x 方向的面上受到 y 方向的力有多大，這就是張量的九個元素的數字之一。
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不過用方塊來想像關於張量的圖像似乎還是有點奇怪的地方，方塊有六個面，為什麼只問三個方向的受力而不是六個面的個別受力？上方的面和下方的面應該可以受不同樣的力啊？我想，這是因為我們討論張量時這個用來幫助理解的方塊對應的其實只是空間中的一個點而已，所以真正的要素並不是方塊的面，而是空間中的三個維度或方向。
要從一個巨觀的方塊推到無限小的極限還是有點難理解。若以旋度（curl）這個概念來類比的話，這裡說的並不是比較巨觀的「沿著某個圓圈路徑上的得到的旋度（積分形式）」，而是「某個點上的旋度值（微分形式）」。我們可以很容易想像一個正在順時鐘旋轉的圓環，由於旋轉的關係環上每個位置都有沿切線方向的速度，圓環的最右端速度向下，最左端速度向上，這樣想像旋轉的概念是很直覺的。當我們把圓環不斷縮小，只要還是一個圓環，仍然可以想像這個旋轉和速度，但如果我們真的要想像把圓環縮小到空間中的「一個點」時，區分左端還和右端還合理嗎？而這最後一個點到底速度是向下還是向上呢？還是同一個點居然可以同時向上又向下呢？我想這裡應該就是必須用極限與微分的數學工具去理解的時候，旋度本身就是是由向量場的「微分」組合出來，是推到極限的狀況，它可以無限接近一個點，但我其實不知道能不能真的說他是一個點（這要看數學家怎麼說了）。
總之，透過極限與微分的幫助，我們能夠將二維或是三維空間的資訊嚴謹的以每一個「點」所在位置的性質來描述。回頭想想，即使是空間中某一點的速度這樣的向量概念也是透過極限及微分來理解，所以物理上也不是那麼不直覺。如果再回過頭來以作為「數學工具」的角度去想純量、向量、與張量的角色，也許就可以接受我們用比較抽象一點、功能性一點的角度去理解。
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既然不論是純量的溫度、向量的速度、還是應力的張量，（在某些應用上）其最終目的常常都是要給出空間中一個點的物理量，那不如我們用「函數」的概念來想看看：這個所謂的函數就好比我握有一筆資料，儲存著空間中任何一點的某些資訊，預備針對任何問題給你「一個數字」作為回答（就像你將把一些條件輸入電腦，程式得到一個數字作為結果返回）。當你問你指尖所在的地方溫度是多少時，我可以回答：攝氏27度。像這樣空間中的每一個位置有其對應到一個數值，一個位置記錄了一個數字的資訊，也就是純量場。
但如果我的資料庫是向量場而不是純量場，那麼你指定了一個位置就還不夠明確，因為如果你沒有指定方向，那麼對於這一點的資訊我是無法只用一個數字回答你的。但當你明確指定了一個方向，我就能給你一個數字。例如，你問我你指尖所指的地方的水流速度，但我並不知道你要問什麼方向上的速度，資料庫中這一個點對應到的並不只是一個數字，所以條件還不夠清楚。但當你問的是在 x 方向上水流得多快時就可以有個精確的回答：例如每秒10公分之類的。
那麼，為了能夠回答流速的問題我的資料庫需要記錄多少筆資訊呢？既然有無限多個方向，難道我要有個無限大的資料庫嗎？ 其實三維空間的三維意思就是有三個獨立自由的維度，也就是說我只要儲存著 x, y, z 三個獨立方向的資料就已經完整掌握流速的資訊了。因此你也可以隨意的問「 x 和 y 軸中間45度的」這個方向流得多快，我都可以算出流速在你有興趣的方向上投影出來的大小（具體說就是取兩個向量內積）。這個函數因為所記錄著關於水流速度的向量資訊，它可以辦到告訴你在任何你指定的方向上的投影大小。反過來說，當你需要掌握或記錄一筆具有方向性的物理量的資訊時，你所需要的工具也就是向量場了，單只用純量場是辦不到的。
所以關鍵的差別在於「純量並不取決於方向」，但「向量」的資訊還「取決於方向」，以此類推，如果我的資料庫更複雜，所儲存的是應力的資訊，你就得要指定你問的是 1. 哪個方向上（哪一面）所受到 2. 哪個方向的受力，我才能給你一個數字答案。所以「張量」可以想像成答案還「取決於『兩個』方向」。反過來說也就是如果你想要儲存完整的應力的資訊，你就需要用到張量了，單是向量並無法辦到。也因為張量取決于兩個方向，共有三乘三的組合也就是九個數字來完整記錄，但一旦有了這九個數字，你就可以應對對任和兩個方向上數值是多少的提問了。
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最後，也許也可以這樣想像：空間中一個點可以有不同的櫃子儲存著不同的資訊。純量就像是不需要鑰匙的簡單櫃子，打開就只是一個數字；向量則需你帶著要一把鑰匙（一個方向）來開，而依照你帶來的鑰匙不同你會得到不同的答案。不過如果你想要完整的掌握櫃子的內容，需要的只是拿 x, y, z 各自開一次就可以 ；張量則是更複雜的櫃子，需要指定兩把鑰匙才能打開得到特定的結果，不過只需把要開九次的答案記錄下來（例如 xx, xy, xz, yx, yy, yz, zx, zy, zz ），你就也完整掌握這個張量的內容了。所以為什麼要搞得這麼複雜，回到物理的角度也就是因為類似「應力」這樣的物理量其大小取決于「兩個方向」，所以就需要運用張量這樣的數學工具來描述了。
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2015-11-13
2015年11月11日 星期三
Exchange symmetry 與簡單的 Entangled State 例子
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考慮一個簡單的粒子，以兩種可能的態存在，分別表示為 | 0 > 和 | 1 >
現在考慮「兩個」這樣粒子的系統，我們可以用product state的方式來描述兩者合起來的狀態，例如 | 0 > | 1 > 表示「第一個粒子處在state 0而第二個粒子處在state 1」的態。此時有可能出現的組合態取決於粒子的性質，考慮不同的狀況如下：
A. 可分辨的粒子
| 0 > | 0 >,
| 0 > | 1 >,
| 1 > | 0 >,
| 1 > | 1 >
B. 不可分辨的古典粒子
| 0 > | 0 >,
| 1 > | 0 >,
| 1 > | 1 >
其中 | 1 > | 0 > 和 | 0 > | 1 > 因為兩個粒子不可分辨並無法區分，所以算作一種。（也就是說知道系統處於「一個 0 一個 1」的態，但無法說哪一個粒子是 0 哪一個是 1）
C. 不可分辨的 bosons （symmetric wave function）
| 0 > | 0 >,
| 1 > | 1 >,
( | 0 > | 1 > + | 1 > | 0 > )/$\sqrt{2}$
其中 | 1 > | 0 > 和 | 0 > | 1 > 本身是不符合的exchange symmetry的，但是其線性疊加則可以。
D. 不可分辨的 fermions （antisymmetric wave function）
( | 0 > | 1 > - | 1 > | 0 > )/$\sqrt{2}$
古典理論中並無所謂的波函數疊加，粒子可能的態也就是 | 0 > 或 | 1 > ，事實上我們能真正直接觀察到的實驗結果也就是 | 0 > 和 | 1 > 兩種，這也是這裡開頭的說明「一個簡單的粒子，以兩種可能的態存在，分別表示為 | 0 > 和 | 1 >」所隱含的意思。
因此以上 A 和 B的差別就單純只是排列組合的數學中的可分辨與不可分辨。如果說 0 代表黑色、 1 代表白色，那麼 A 的意思就是你可以分辨 「1號黑+2號白」及「1號白+2號黑」兩種情形的不同；而 B 的情況就是你無法分辨兩者，你只知道「有一顆黑有一顆白」這樣了。
不過在量子力學中粒子的狀態（也就是波函數）可以是不同古典態的疊加，例如當有一個粒子處於 ( | 0 > + | 1 > )/$\sqrt{2}$ 這樣的態時，所代表的是當你以相應的測量去決定這一個的態時你有一半的機率得到 0、一半的機率會得到 1 的結果，以顏色的比喻來說就是你有一半的機會會發現這是一顆黑球、一半發現這是顆白球。
其中 C 和 D 的差別在於波函數的 exchange symmetry。對於不可分辨的粒子來說，交換兩個粒子的位置後得到的波函數所對應或給出的「實際機率」應該要是和交換前相同，這是因為如果交換後的波函數給出的機率不同，我們就可以透過實驗去分辨到底現在的態是哪個粒子在哪個位置的態，也就表示我們可以區別兩種粒子了。
又由於「機率」是由「波函數的平方」決定，因此粒子不可分辨的條件其實是限制了交換位置前後的「波函數平方」要不變，回到「波函數」本身的話就會有兩種可能：交換前後波函數不變，或是交換前後波函數差一個負號。假設我們定 exchange operator 為 $\hat{P}_{12}$，以上的討論可以表示為：
$ |\psi(r_1, r_2)|^2 = |\psi(r_2, r_1)|^2 $ 及 $\hat{P}_{12} \psi(r_1, r_2) = \psi(r_2, r_1) = \pm \psi(r_1, r_2) $。
因此粒子根據其本身波函數的交換性質可以被分成兩類：
boson: $\psi(r_2, r_1) = +\psi(r_1, r_2) $ (symmetric under exchange of particle)
fermion: $\psi(r_2, r_1) = -\psi(r_1, r_2) $ (antisymmetric under exchange of particle)
對fermion來說，若假設 $r_1=r_2$ 就會得到 $\psi(r_1, r_1) = -\psi(r_1, r_1) $，所以波函數只能為零，這也就是著名的 Pauli exclusion principle，說明了兩個fermion不能處於完全相同的state（在這裏只是位置，更一般來說是不能各種量子態都相同）。
( | 1 > | 0 > + | 0 > | 1 > )/$\sqrt{2}$
就是一個糾纏態的例子，因為此一波函數「無法被拆成兩個個別粒子態的乘積」，在這個糾纏太中當你測量發現一個粒子在 | 0 > 時則另一個一定會是 | 1 >，反之亦然。而
( | 0 > | 0 > + | 0 > | 1 > )/$\sqrt{2}$
就不是一個entangled state，因為他可以被拆成 | 0 > ( | 0 > + | 1 > )/$\sqrt{2}$
（ | 0 > + | 1 > 也是可能的個別粒子態）。
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參考： Concepts in Thermal Physics Chap. 29. Blundell & Blundell
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2015-11-11
考慮一個簡單的粒子，以兩種可能的態存在，分別表示為 | 0 > 和 | 1 >
現在考慮「兩個」這樣粒子的系統，我們可以用product state的方式來描述兩者合起來的狀態，例如 | 0 > | 1 > 表示「第一個粒子處在state 0而第二個粒子處在state 1」的態。此時有可能出現的組合態取決於粒子的性質，考慮不同的狀況如下：
A. 可分辨的粒子
| 0 > | 0 >,
| 0 > | 1 >,
| 1 > | 0 >,
| 1 > | 1 >
B. 不可分辨的古典粒子
| 0 > | 0 >,
| 1 > | 0 >,
| 1 > | 1 >
其中 | 1 > | 0 > 和 | 0 > | 1 > 因為兩個粒子不可分辨並無法區分，所以算作一種。（也就是說知道系統處於「一個 0 一個 1」的態，但無法說哪一個粒子是 0 哪一個是 1）
C. 不可分辨的 bosons （symmetric wave function）
| 0 > | 0 >,
| 1 > | 1 >,
( | 0 > | 1 > + | 1 > | 0 > )/$\sqrt{2}$
其中 | 1 > | 0 > 和 | 0 > | 1 > 本身是不符合的exchange symmetry的，但是其線性疊加則可以。
D. 不可分辨的 fermions （antisymmetric wave function）
( | 0 > | 1 > - | 1 > | 0 > )/$\sqrt{2}$
量子和古典的差別
古典理論中並無所謂的波函數疊加，粒子可能的態也就是 | 0 > 或 | 1 > ，事實上我們能真正直接觀察到的實驗結果也就是 | 0 > 和 | 1 > 兩種，這也是這裡開頭的說明「一個簡單的粒子，以兩種可能的態存在，分別表示為 | 0 > 和 | 1 >」所隱含的意思。
因此以上 A 和 B的差別就單純只是排列組合的數學中的可分辨與不可分辨。如果說 0 代表黑色、 1 代表白色，那麼 A 的意思就是你可以分辨 「1號黑+2號白」及「1號白+2號黑」兩種情形的不同；而 B 的情況就是你無法分辨兩者，你只知道「有一顆黑有一顆白」這樣了。
不過在量子力學中粒子的狀態（也就是波函數）可以是不同古典態的疊加，例如當有一個粒子處於 ( | 0 > + | 1 > )/$\sqrt{2}$ 這樣的態時，所代表的是當你以相應的測量去決定這一個的態時你有一半的機率得到 0、一半的機率會得到 1 的結果，以顏色的比喻來說就是你有一半的機會會發現這是一顆黑球、一半發現這是顆白球。
Exchange symmetry 及 bosons 和 fermion 的差別
其中 C 和 D 的差別在於波函數的 exchange symmetry。對於不可分辨的粒子來說，交換兩個粒子的位置後得到的波函數所對應或給出的「實際機率」應該要是和交換前相同，這是因為如果交換後的波函數給出的機率不同，我們就可以透過實驗去分辨到底現在的態是哪個粒子在哪個位置的態，也就表示我們可以區別兩種粒子了。
又由於「機率」是由「波函數的平方」決定，因此粒子不可分辨的條件其實是限制了交換位置前後的「波函數平方」要不變，回到「波函數」本身的話就會有兩種可能：交換前後波函數不變，或是交換前後波函數差一個負號。假設我們定 exchange operator 為 $\hat{P}_{12}$，以上的討論可以表示為：
$ |\psi(r_1, r_2)|^2 = |\psi(r_2, r_1)|^2 $ 及 $\hat{P}_{12} \psi(r_1, r_2) = \psi(r_2, r_1) = \pm \psi(r_1, r_2) $。
因此粒子根據其本身波函數的交換性質可以被分成兩類：
boson: $\psi(r_2, r_1) = +\psi(r_1, r_2) $ (symmetric under exchange of particle)
fermion: $\psi(r_2, r_1) = -\psi(r_1, r_2) $ (antisymmetric under exchange of particle)
對fermion來說，若假設 $r_1=r_2$ 就會得到 $\psi(r_1, r_1) = -\psi(r_1, r_1) $，所以波函數只能為零，這也就是著名的 Pauli exclusion principle，說明了兩個fermion不能處於完全相同的state（在這裏只是位置，更一般來說是不能各種量子態都相同）。
糾纏態
( | 1 > | 0 > + | 0 > | 1 > )/$\sqrt{2}$
就是一個糾纏態的例子，因為此一波函數「無法被拆成兩個個別粒子態的乘積」，在這個糾纏太中當你測量發現一個粒子在 | 0 > 時則另一個一定會是 | 1 >，反之亦然。而
( | 0 > | 0 > + | 0 > | 1 > )/$\sqrt{2}$
就不是一個entangled state，因為他可以被拆成 | 0 > ( | 0 > + | 1 > )/$\sqrt{2}$
（ | 0 > + | 1 > 也是可能的個別粒子態）。
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參考： Concepts in Thermal Physics Chap. 29. Blundell & Blundell
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2015-11-11
使用 The 的時機
定冠詞 The 的使用時機：
1. 當名詞是特定對象，獨一無二時。
The is used with specific nouns. The is required when the noun it refers to represents something that is one of a kind:
例： the moon, the earth
但更精確來說*：世界上唯一的東西，不用the（例如 Mars, Venus, Japan）；世界上有很多的東西，要指溝通雙方都知道的對象，要用the（the sun）
2. 當名詞是抽象的概念時。
The is required when the noun it refers to represents something in the abstract:
例： the justice
3. 當指涉的名詞是之前提過的名詞時。
The is required when the noun it refers to represents something named earlier in the text.
例：A newspaper has an obligation to seek out and tell the truth. There are situations, however, when the newspaper must determine whether the public's safety is jeopardized by knowing the truth.
其他：
1. 在一般性指涉的用法 (generic reference) 中 a, an, the 都可以使用，並非只能用不定冠詞
例： A beagle makes a great hunting dog and family companion. / The golden retriever is a marvelous pet for children.
參考：http://grammar.ccc.commnet.edu/grammar/determiners/determiners.htm
參考*：http://blog.yam.com/studyenglish/article/7978177
1. 當名詞是特定對象，獨一無二時。
The is used with specific nouns. The is required when the noun it refers to represents something that is one of a kind:
例： the moon, the earth
但更精確來說*：世界上唯一的東西，不用the（例如 Mars, Venus, Japan）；世界上有很多的東西，要指溝通雙方都知道的對象，要用the（the sun）
2. 當名詞是抽象的概念時。
The is required when the noun it refers to represents something in the abstract:
例： the justice
3. 當指涉的名詞是之前提過的名詞時。
The is required when the noun it refers to represents something named earlier in the text.
例：A newspaper has an obligation to seek out and tell the truth. There are situations, however, when the newspaper must determine whether the public's safety is jeopardized by knowing the truth.
其他：
1. 在一般性指涉的用法 (generic reference) 中 a, an, the 都可以使用，並非只能用不定冠詞
例： A beagle makes a great hunting dog and family companion. / The golden retriever is a marvelous pet for children.
參考：http://grammar.ccc.commnet.edu/grammar/determiners/determiners.htm
參考*：http://blog.yam.com/studyenglish/article/7978177
2015年10月12日 星期一
存在與虛無
笛卡兒說：我思故我在
沙特則認為這句話中「正在思考」的意識和說出「我在」的意識並非同一個。意識存在，而意識有其對象或指向。例如當看見一個球時，球是這個意識的對象或客體。在原句子中「我思」表示存在一個意識（Ａ）的對象是「思考」，而是另一個意識（Ｂ）則把「正在思考的這個意識」當成了對象，並在此反省中確認了自己的存在。
但這樣看來，似乎會有無限退後的問題，我們要能夠意識到意識（Ｂ），是不是需要意識（Ｃ）把（Ｂ）給當作客體呢？沙特的說法是：對意識來說「存在」和「知道自己」是同一的，也就是說「意識到球」的意識跟「意識到意識到球」的意識是同一個。
那在這種想法中所謂的「我」是什麼樣的概念呢？與一般認為是「我」俱有「意識」的想法相反，沙特認為當意識意識到自身時才產生了「我」的改念。當意識的對象是其自身時，所得到的答案所形成的集合（包含個性，狀態等等）就是所謂的我。
因此，雖然「我」的概念本是用來涵括自己一切的，但意識卻是超過「我」這個容器的。意識本身俱有絕對的自由，實際上不受限於我們已經建立起來的自我，過去的認知或個性並不決定我們的未來，因為這所謂的自我是意識的產物，並非原因或主宰。有趣的是這一點卻是人痛苦的來源之一。
註：這裡的「意識」指 consciousness 一詞，在 wiki 現象學條目裡似乎譯作「關注」。
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徹底以意識作為出發點，連「我」都可以意識的對象來思考，覺得很有意思。
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參考：Being and Nothingness. sect. Translators Introduction
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2015-10-12
2015-11-29 加註
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2015-10-12
2015-11-29 加註
2015年10月4日 星期日
Jeans Criterion
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恆星形成自星際雲氣的重力塌縮，而 Jeans criterion 則是用來判斷雲氣是否可能塌縮的一種指標。我們要如何判斷某團雲氣能不能塌縮呢？一種做法是透過比較（一）雲氣所俱有的重力位能和（二）雲氣俱有的熱動能何者較大來判斷。（雖然似乎並不很精確，見文末）
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由於萬有引力的存在，一團星際物質在自身重力的作用之下會傾向於收縮。同時，氣體粒子不斷運動碰撞所對應的熱壓力則傾向讓雲氣擴張。若將重力的效果想像成一個位能井，將粒子的熱動能想像成試圖脫逃的能量，則兩者的相對強弱就是雲氣是否能夠受重力塌縮的關鍵。如果系統的重力位能為 $\Omega$ （無限遠處定為零），氣體的總熱動能為 $U$，則Jeans criterion可以寫成 $\Omega+U<0$（或是 $| \Omega |>U$，因為 $\Omega$是負的。）
以下皆假設雲氣密度及溫度為定值並僅以球形進一步計算。
如何想像一團雲氣所蘊含的重力位能？我們可以當作所有的質量原本都在無限遠處（位能為零），再一點一點將整個系統組合起來看這過程中總共有多少能量改變。以球形來說可以想像成一層一層球殼往外組合：考慮某一層半徑為 $r$ 的球殼，在我們將這層球殼加入系統時，所有早先已加入的球殼形成了半徑為 $r$ 的實心球，質量為 $M'=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ ，而即將加入的球殼自己的質量為 $dM'=4\pi r^2 \rho dr$，因此這一新層球殼俱有的位能為 $-\frac{GM'dM'}{r}=-\frac{16}{3}G\pi^2 \rho^2 r^4 dr$。考慮所有球殼的位能，積分起來就得到了整團雲氣的重力位能：
$$ \Omega=\int_{0}^{M} -\frac{GM'}{r}dM' = \int_{0}^{R}-\frac{16}{3}G\pi^2 \rho^2 r^4 dr=-\frac{16}{15}G\pi^2 \rho^2 R^5 =-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$$
其中最後一個等式利用到關係式 $M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$ 將密度用質量和半徑取代表示。（假設雲氣不是球形，重力位能仍可以較一般性的寫為 $f\frac{GM^2}{R}$，其中前面的系數取決於系統的幾何形狀。）
另一方面，在溫度 $T$ 之下平均每個氣體分子的熱動能為 $\frac{3}{2}k_BT$，總粒子數為$M/m$（$m$ 為氣體的平均分子量），所以總熱動能為
$$U=\frac{3}{2}\frac{M}{m}k_B T$$
代回 $\Omega+U=-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}+\frac{3}{2}\frac{M}{m} k_B T<0$，整理得 $M>\frac{5}{2}\frac{k_B T}{Gm}R$，定義 Jeans mass $M_J \equiv\frac{5}{2}\frac{k_B T}{Gm}R$，則 $M>M_J$ 也就是 Jeans criterion。
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上述的結果顯示，當我們知道一團雲氣的大小以及溫度時，就可以計算對應的 Jeans mass，如果氣質的質量大過這個標準就表示雲氣可以因重力而塌縮。事實上，固定半徑（體積）時質量越大也就代表密度越大，所以同樣的事情也可表達成已知半徑（體積）之下密度必須大於某個標準才可以因重力而塌縮，這個密度就稱為 Jeans density。能夠這樣變換是因為 $M=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ 固定下了 $M, R, \rho$ 三者的關係，所以任一量可以用另外兩者取代表示。在上面的式子中使用了 $M-R$ 兩個變數表達了Jeans mass，如果換成 $\rho-M$, $R-\rho$ 的組合就會得到 Jeans density及 Jeans length。這數種不同的表達形式背後其實都只是同一件事情：將系統的重力位能和熱動能拿來比較罷了。
也許值得多想一下的是為什麼推導的結果是質量必須高過而不是低於 $M_J$ 才會塌縮？換句話說：固定溫度和半徑（體積）時，為什麼質量或密度增加就會變得容易塌縮呢？質量增加時氣體的熱壓力不是也上升了嗎？難道不會讓系統向外擴散出去？當然，這是因為重力也一樣受惠於質量的增加，所以就必須進一步看重力位能和熱動能誰受益較大了，回到上面的式子可以看出 $U\propto M$，而在固定 $R$ 時 $\Omega\propto M^2$，重力位能顯然受影響更多。
另外一個有趣的問題是如何理解比較抽象的 Jeans length，究竟一團雲氣是要大一點還是小一點才容易符合Jeans criterion呢？這可以類比上面的想法，看看改變半徑對重力位能和熱動能分別會如何影響：由於在密度固定的條件下，質量正比於半徑的三次方，所以重力位能 $\Omega \propto M^2 R^{-1} \propto R^5$；另一方面熱動能 $U \propto M \propto R^3$，比較之下可見半徑較大的雲氣會較容易符合 Jeans criterion。也就是在相同的密度之下，雲氣太小團也不是不行的。
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一些問題
其實 Jeans criterion 似乎有許多不同的版本，像是wikipedia上面介紹的就是從不穩定性出發的計算，也提到這個判準有在實際應用時也有其問題與限制。也有看到從virial theorem出發的描述，過程跟這裡寫的一樣，唯一不同的是使用的條件不是總能量小於零，而是總能量要小於virial quilibrium時的總能量（$\Omega+U < \frac{1}{2} \Omega$），因此會和這裡的結果相差兩倍。另外就是球體位能是跟系統的幾何形狀有關，所以不同假設也會影響到最後結果，使以這裡所寫下的 Jeans criterion 不宜被當作精確的結果來運用。
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參考：Concept in Thermal Physics
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2015.10.04
恆星形成自星際雲氣的重力塌縮，而 Jeans criterion 則是用來判斷雲氣是否可能塌縮的一種指標。我們要如何判斷某團雲氣能不能塌縮呢？一種做法是透過比較（一）雲氣所俱有的重力位能和（二）雲氣俱有的熱動能何者較大來判斷。（雖然似乎並不很精確，見文末）
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由於萬有引力的存在，一團星際物質在自身重力的作用之下會傾向於收縮。同時，氣體粒子不斷運動碰撞所對應的熱壓力則傾向讓雲氣擴張。若將重力的效果想像成一個位能井，將粒子的熱動能想像成試圖脫逃的能量，則兩者的相對強弱就是雲氣是否能夠受重力塌縮的關鍵。如果系統的重力位能為 $\Omega$ （無限遠處定為零），氣體的總熱動能為 $U$，則Jeans criterion可以寫成 $\Omega+U<0$（或是 $| \Omega |>U$，因為 $\Omega$是負的。）
以下皆假設雲氣密度及溫度為定值並僅以球形進一步計算。
如何想像一團雲氣所蘊含的重力位能？我們可以當作所有的質量原本都在無限遠處（位能為零），再一點一點將整個系統組合起來看這過程中總共有多少能量改變。以球形來說可以想像成一層一層球殼往外組合：考慮某一層半徑為 $r$ 的球殼，在我們將這層球殼加入系統時，所有早先已加入的球殼形成了半徑為 $r$ 的實心球，質量為 $M'=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ ，而即將加入的球殼自己的質量為 $dM'=4\pi r^2 \rho dr$，因此這一新層球殼俱有的位能為 $-\frac{GM'dM'}{r}=-\frac{16}{3}G\pi^2 \rho^2 r^4 dr$。考慮所有球殼的位能，積分起來就得到了整團雲氣的重力位能：
$$ \Omega=\int_{0}^{M} -\frac{GM'}{r}dM' = \int_{0}^{R}-\frac{16}{3}G\pi^2 \rho^2 r^4 dr=-\frac{16}{15}G\pi^2 \rho^2 R^5 =-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$$
其中最後一個等式利用到關係式 $M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$ 將密度用質量和半徑取代表示。（假設雲氣不是球形，重力位能仍可以較一般性的寫為 $f\frac{GM^2}{R}$，其中前面的系數取決於系統的幾何形狀。）
另一方面，在溫度 $T$ 之下平均每個氣體分子的熱動能為 $\frac{3}{2}k_BT$，總粒子數為$M/m$（$m$ 為氣體的平均分子量），所以總熱動能為
$$U=\frac{3}{2}\frac{M}{m}k_B T$$
代回 $\Omega+U=-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}+\frac{3}{2}\frac{M}{m} k_B T<0$，整理得 $M>\frac{5}{2}\frac{k_B T}{Gm}R$，定義 Jeans mass $M_J \equiv\frac{5}{2}\frac{k_B T}{Gm}R$，則 $M>M_J$ 也就是 Jeans criterion。
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上述的結果顯示，當我們知道一團雲氣的大小以及溫度時，就可以計算對應的 Jeans mass，如果氣質的質量大過這個標準就表示雲氣可以因重力而塌縮。事實上，固定半徑（體積）時質量越大也就代表密度越大，所以同樣的事情也可表達成已知半徑（體積）之下密度必須大於某個標準才可以因重力而塌縮，這個密度就稱為 Jeans density。能夠這樣變換是因為 $M=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ 固定下了 $M, R, \rho$ 三者的關係，所以任一量可以用另外兩者取代表示。在上面的式子中使用了 $M-R$ 兩個變數表達了Jeans mass，如果換成 $\rho-M$, $R-\rho$ 的組合就會得到 Jeans density及 Jeans length。這數種不同的表達形式背後其實都只是同一件事情：將系統的重力位能和熱動能拿來比較罷了。
也許值得多想一下的是為什麼推導的結果是質量必須高過而不是低於 $M_J$ 才會塌縮？換句話說：固定溫度和半徑（體積）時，為什麼質量或密度增加就會變得容易塌縮呢？質量增加時氣體的熱壓力不是也上升了嗎？難道不會讓系統向外擴散出去？當然，這是因為重力也一樣受惠於質量的增加，所以就必須進一步看重力位能和熱動能誰受益較大了，回到上面的式子可以看出 $U\propto M$，而在固定 $R$ 時 $\Omega\propto M^2$，重力位能顯然受影響更多。
另外一個有趣的問題是如何理解比較抽象的 Jeans length，究竟一團雲氣是要大一點還是小一點才容易符合Jeans criterion呢？這可以類比上面的想法，看看改變半徑對重力位能和熱動能分別會如何影響：由於在密度固定的條件下，質量正比於半徑的三次方，所以重力位能 $\Omega \propto M^2 R^{-1} \propto R^5$；另一方面熱動能 $U \propto M \propto R^3$，比較之下可見半徑較大的雲氣會較容易符合 Jeans criterion。也就是在相同的密度之下，雲氣太小團也不是不行的。
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一些問題
其實 Jeans criterion 似乎有許多不同的版本，像是wikipedia上面介紹的就是從不穩定性出發的計算，也提到這個判準有在實際應用時也有其問題與限制。也有看到從virial theorem出發的描述，過程跟這裡寫的一樣，唯一不同的是使用的條件不是總能量小於零，而是總能量要小於virial quilibrium時的總能量（$\Omega+U < \frac{1}{2} \Omega$），因此會和這裡的結果相差兩倍。另外就是球體位能是跟系統的幾何形狀有關，所以不同假設也會影響到最後結果，使以這裡所寫下的 Jeans criterion 不宜被當作精確的結果來運用。
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參考：Concept in Thermal Physics
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2015.10.04
2015年9月26日 星期六
恆星中的核融合
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參考：上課筆記
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2015.09.26
了解恆星的能量從何而來是天文物理發展的一大重要基石，面對滿天繁星至少我們並不是一無所知。恆星漫長的一生中的絕大部份時光都是由核融合反應提供穩定的能量來源，其中的物理複雜，不過結果還算親切。
核融合的發生過程大致分成兩部分：第一部分是關於庫侖斥力以及穿隧效應，第二部分則和核物理有關。由於原子核帶正電而正電彼此互斥，所以要將兩個原子核靠近到非常近的距離勢必得要先克服庫侖斥力，也就是在粒子靠近時存在一個很高能量障礙得克服；而一旦兩個原子核能夠成功接近到強作用力的作用的範圍內，就有機會發生核反應並靠著強作用力將新的原子核綁在一起。雖然強作用力的作用足以克服庫侖斥力，但其運作距離極短，所以要達到夠近的距離就好比第一道門檻，先能夠跨越後發生核反應的機率還要取決核物理的部分，兩者合起來的結果才描述了核融合反應發生的機率。
具體來說，我們的目標是單位時間內每單位體積裡可以發生的反應次數 $r_{12}$ ，下標1和2表示參加反應的兩種粒子。 進一步可寫為 $r_{12}=n_1 n_2 <\sigma v>$ ，其中 $n$ 為粒子密度， $\sigma$ 為用以描述反應發生的可能性的截面積（cross section） ，$v$ 則為兩粒子的相對速度。由於在特定溫度 $T$ 下氣體粒子並不只有一種速度，其能量分佈會符合溫度 $T$ 時的Maxwell-Boltzmann分佈，所以以 $<\sigma v >$ 代表了對各種速度之下的 $\sigma v$ 值取平均之後的結果，方便我們直接描述在一特定溫度的反應狀況（而不是只指特定速度下的$\sigma v$）。核反應的性質在 $\sigma$ 的計算以及取平均的過程中將顯露一二。正如前面所說核融合的發生可以分成庫侖障礙和核物理兩個過程，所以 $\sigma$ 也分為兩個部分考慮，淨結果為兩者的乘積。
具體來說，我們的目標是單位時間內每單位體積裡可以發生的反應次數 $r_{12}$ ，下標1和2表示參加反應的兩種粒子。 進一步可寫為 $r_{12}=n_1 n_2 <\sigma v>$ ，其中 $n$ 為粒子密度， $\sigma$ 為用以描述反應發生的可能性的截面積（cross section） ，$v$ 則為兩粒子的相對速度。由於在特定溫度 $T$ 下氣體粒子並不只有一種速度，其能量分佈會符合溫度 $T$ 時的Maxwell-Boltzmann分佈，所以以 $<\sigma v >$ 代表了對各種速度之下的 $\sigma v$ 值取平均之後的結果，方便我們直接描述在一特定溫度的反應狀況（而不是只指特定速度下的$\sigma v$）。核反應的性質在 $\sigma$ 的計算以及取平均的過程中將顯露一二。正如前面所說核融合的發生可以分成庫侖障礙和核物理兩個過程，所以 $\sigma$ 也分為兩個部分考慮，淨結果為兩者的乘積。
「克服庫侖障礙」
想像當兩個帶正電粒子沿一直線相向而行，距離尚遠時兩者間有一初始相對速度，在靠近的過程中由於庫侖力的排斥兩者都受到向外的加速度而漸漸減緩，最終在某個距離下達到兩者相對停止，再向外漸漸加速離開。這個折返點的距離也就是兩個粒子能夠達到的最近距離，一開始兩者的相對速度越大，就可以衝得越靠近。若考慮一團氣體間彼此的相對碰撞速度，不難想像溫度越高代表粒子平均的運動速度越高，也就越能夠彼此靠近。事實上由於在特定溫度下氣體達到熱平衡時的能量遵守Maxwell-Boltzmann分佈，因此總是有一少部分粒子會俱有高於平均很多的能量，這對克服庫侖斥力來說算是個好消息。
然而，實際上單靠高溫還不能解釋恆星中核融合的發生，這是由於強作用力的範圍實在很短，在這個距離內的庫侖斥力太強，即使在恆星內部的高溫之下也無法使足夠多的粒子能推進到這麼短的距離，換句話說單靠著氣體動能的作用離目標還有一段路，而這最後一段路程就必須靠量子力學的穿隧效應來解釋了。
量子力學中不再將物質視為為一顆一顆粒子，而是透過波函數的方式描述，粒子所在的位置是以機率波的振幅來決定，而薛丁格方程式則是此波函數必須遵守的方程式。如前所述，一對固定相對速度的互斥粒子在古典物理中可以到達的最近距離為$r_c$，由於擺在面前的位能障礙，他們永遠無法到達強作用力所需要的更近的距離$r_n$。然而在量子力學告訴我們面對同樣位能障礙時波函數在$r_c$以內雖然會非常快速的降低，但並非瞬間就降為零，因此當波函數延伸到在$r_n$的位置時還是可以有一定機率在，也因此粒子是有機會能夠進入到強作用力作用範圍之內。若具體考慮粒子在$r_n$出現的機率和粒子在$r_c$出現的機率的比值，就可以得到穿隧的機率，其結果有如下性質
$$ P\propto e^{-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}},\quad E_\sigma=\frac{2\pi^2m_re^4Z_1^2Z_2^2}{\hbar^2}$$
其中 $E$ 為兩粒子在質心坐標系下的動能$E=\frac{1}{2}m_r v^2$，$m_r=m_1m_2/(m_1+m_2)$為reduced mass，而$E_\sigma$稱為 Gamow energy，$Z_1$, $Z_2$ 為兩粒子的電荷數。由函數的形式可以看出動能 $E$ 越高，粒子越有機會穿隧；而粒子帶電越多，庫侖斥力越強則$E_\sigma$越大，能夠穿隧的機率也就越小（因為同樣的能量對應到的古典折返點更遠了）。
「核反應」
前面所說的部分只關注兩種粒子如何靠著動能加上穿隧效應來到強作用力能夠作用的範圍，跨過這個門檻之後就是另一個問題：核反應本身是否會發生。關於強作用力弱作用力我其實一無所知，但就結果來說可以將 $\sigma$ 表示如下
$$\sigma(E) = \frac{S(E)}{E}e^{-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}}$$
其中後面指數函數的部分就是剛剛考慮庫侖力和穿隧效應得到的結果，而前面 $S(E)/E$ 就是描述核反應的部分了（$1/E$ 一方面使得後面計算方便，概念上也將反映截面積幾何效應的部分獨立出來），在非共振的情況下，$S(E)$ 是一個變化不快的函數。
「對速度平均」
對 $\sigma v$ 對整個速度分佈取平均，假設兩種粒子各自的數目為$n_1$和$n_2$，其分別俱有速度$v_1$和$v_2$的數目為$n_1(v_1)$和$n_2(v_2)$，則具體寫出來會像這樣：
$$<\sigma v>=\frac{1}{n_1 n_2} \int d^3v_1 d^3v_2\, n_1(v_1)n_2(v_2) \sigma(E)|v_1-v_2|$$
熱平衡時$n_1(v_1)$和$n_2(v_2)$分別都遵守MB分佈。轉到質心座標下運算這個積分，並假設 $S(E)$ 大約為定值，得到以下結果：
$$ <\sigma v>=(\frac{2}{kT})^{3/2} \frac{1}{\sqrt{\pi m_r}}S(E) \int dE\, e^{-\frac{E}{kT}-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}}$$
其中前面係數部分值得注意的是 $S(E)$， 作為核反應的cross section，其值在強作用力與弱作用力間約有20個數量級的差距。而積分中指數的部分 $-\frac{E}{kT}-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}$ 則清楚的揭露出兩種關鍵效應：第一項來自氣體能量的 Maxwell Bolrzmann 分佈，告訴我們在特定溫度下能量越高的粒子是越難找到的，其特徵能量尺度為$kT$。第二項則來自庫侖障礙及穿隧效應，告訴我們越高的能量的粒子才越有機會穿隧其特徵能量尺度是$E_\sigma$。值得注意的是$E_\sigma$的數量級落在MeV附近，而（以恆星中心溫度來說）$kT$ 的範圍卻落在keV附近，也就是說我們需要MeV附近的能量穿隧才能很有效率的發生，然而大部份的氣體粒子具有的能量卻在keV附近，遠低於穿隧能輕易發生的能量，也因此恆星裡的核融合反應其實是靠著MB分佈中高能端的尾巴在進行的。
若將兩個因素的結果綜合起來，可以找到一個核融合發生機率最高的能量 $E_0$（介於keV與MeV之間），接近$E_0$的時候才有較大的機率。可以利用此原因進一步的簡化：將函數對此峰值附近展開並以此完成積分得到近似的結果：
$$ <\sigma v>= 2.6 S(E_0) \frac{E_\sigma^{1/6}}{(kT)^{2/3}\sqrt{m_r}} e^{-3(\frac{E_\sigma}{4kT})^{1/3}}$$
於是我們可以回到一開始的目標：單位時間內每單位體積裡可以發生的反應次數 $r_{12}=n_1 n_2 <\sigma v>$ 。此結果幫助我們了解在溫度 $T$ 時的核融合發生的情況，而結果本身看起來並不是那麼恐怖 : P。
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物理真是一方面嚴謹，一方面也很實際。在各種近似與討論之中複雜的現象也可以得到合理的說明。
想像當兩個帶正電粒子沿一直線相向而行，距離尚遠時兩者間有一初始相對速度，在靠近的過程中由於庫侖力的排斥兩者都受到向外的加速度而漸漸減緩，最終在某個距離下達到兩者相對停止，再向外漸漸加速離開。這個折返點的距離也就是兩個粒子能夠達到的最近距離，一開始兩者的相對速度越大，就可以衝得越靠近。若考慮一團氣體間彼此的相對碰撞速度，不難想像溫度越高代表粒子平均的運動速度越高，也就越能夠彼此靠近。事實上由於在特定溫度下氣體達到熱平衡時的能量遵守Maxwell-Boltzmann分佈，因此總是有一少部分粒子會俱有高於平均很多的能量，這對克服庫侖斥力來說算是個好消息。
然而，實際上單靠高溫還不能解釋恆星中核融合的發生，這是由於強作用力的範圍實在很短，在這個距離內的庫侖斥力太強，即使在恆星內部的高溫之下也無法使足夠多的粒子能推進到這麼短的距離，換句話說單靠著氣體動能的作用離目標還有一段路，而這最後一段路程就必須靠量子力學的穿隧效應來解釋了。
量子力學中不再將物質視為為一顆一顆粒子，而是透過波函數的方式描述，粒子所在的位置是以機率波的振幅來決定，而薛丁格方程式則是此波函數必須遵守的方程式。如前所述，一對固定相對速度的互斥粒子在古典物理中可以到達的最近距離為$r_c$，由於擺在面前的位能障礙，他們永遠無法到達強作用力所需要的更近的距離$r_n$。然而在量子力學告訴我們面對同樣位能障礙時波函數在$r_c$以內雖然會非常快速的降低，但並非瞬間就降為零，因此當波函數延伸到在$r_n$的位置時還是可以有一定機率在，也因此粒子是有機會能夠進入到強作用力作用範圍之內。若具體考慮粒子在$r_n$出現的機率和粒子在$r_c$出現的機率的比值，就可以得到穿隧的機率，其結果有如下性質
$$ P\propto e^{-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}},\quad E_\sigma=\frac{2\pi^2m_re^4Z_1^2Z_2^2}{\hbar^2}$$
其中 $E$ 為兩粒子在質心坐標系下的動能$E=\frac{1}{2}m_r v^2$，$m_r=m_1m_2/(m_1+m_2)$為reduced mass，而$E_\sigma$稱為 Gamow energy，$Z_1$, $Z_2$ 為兩粒子的電荷數。由函數的形式可以看出動能 $E$ 越高，粒子越有機會穿隧；而粒子帶電越多，庫侖斥力越強則$E_\sigma$越大，能夠穿隧的機率也就越小（因為同樣的能量對應到的古典折返點更遠了）。
「核反應」
前面所說的部分只關注兩種粒子如何靠著動能加上穿隧效應來到強作用力能夠作用的範圍，跨過這個門檻之後就是另一個問題：核反應本身是否會發生。關於強作用力弱作用力我其實一無所知，但就結果來說可以將 $\sigma$ 表示如下
$$\sigma(E) = \frac{S(E)}{E}e^{-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}}$$
其中後面指數函數的部分就是剛剛考慮庫侖力和穿隧效應得到的結果，而前面 $S(E)/E$ 就是描述核反應的部分了（$1/E$ 一方面使得後面計算方便，概念上也將反映截面積幾何效應的部分獨立出來），在非共振的情況下，$S(E)$ 是一個變化不快的函數。
「對速度平均」
對 $\sigma v$ 對整個速度分佈取平均，假設兩種粒子各自的數目為$n_1$和$n_2$，其分別俱有速度$v_1$和$v_2$的數目為$n_1(v_1)$和$n_2(v_2)$，則具體寫出來會像這樣：
$$<\sigma v>=\frac{1}{n_1 n_2} \int d^3v_1 d^3v_2\, n_1(v_1)n_2(v_2) \sigma(E)|v_1-v_2|$$
熱平衡時$n_1(v_1)$和$n_2(v_2)$分別都遵守MB分佈。轉到質心座標下運算這個積分，並假設 $S(E)$ 大約為定值，得到以下結果：
$$ <\sigma v>=(\frac{2}{kT})^{3/2} \frac{1}{\sqrt{\pi m_r}}S(E) \int dE\, e^{-\frac{E}{kT}-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}}$$
其中前面係數部分值得注意的是 $S(E)$， 作為核反應的cross section，其值在強作用力與弱作用力間約有20個數量級的差距。而積分中指數的部分 $-\frac{E}{kT}-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}$ 則清楚的揭露出兩種關鍵效應：第一項來自氣體能量的 Maxwell Bolrzmann 分佈，告訴我們在特定溫度下能量越高的粒子是越難找到的，其特徵能量尺度為$kT$。第二項則來自庫侖障礙及穿隧效應，告訴我們越高的能量的粒子才越有機會穿隧其特徵能量尺度是$E_\sigma$。值得注意的是$E_\sigma$的數量級落在MeV附近，而（以恆星中心溫度來說）$kT$ 的範圍卻落在keV附近，也就是說我們需要MeV附近的能量穿隧才能很有效率的發生，然而大部份的氣體粒子具有的能量卻在keV附近，遠低於穿隧能輕易發生的能量，也因此恆星裡的核融合反應其實是靠著MB分佈中高能端的尾巴在進行的。
若將兩個因素的結果綜合起來，可以找到一個核融合發生機率最高的能量 $E_0$（介於keV與MeV之間），接近$E_0$的時候才有較大的機率。可以利用此原因進一步的簡化：將函數對此峰值附近展開並以此完成積分得到近似的結果：
$$ <\sigma v>= 2.6 S(E_0) \frac{E_\sigma^{1/6}}{(kT)^{2/3}\sqrt{m_r}} e^{-3(\frac{E_\sigma}{4kT})^{1/3}}$$
於是我們可以回到一開始的目標：單位時間內每單位體積裡可以發生的反應次數 $r_{12}=n_1 n_2 <\sigma v>$ 。此結果幫助我們了解在溫度 $T$ 時的核融合發生的情況，而結果本身看起來並不是那麼恐怖 : P。
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物理真是一方面嚴謹，一方面也很實際。在各種近似與討論之中複雜的現象也可以得到合理的說明。
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參考：上課筆記
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2015.09.26
使用 MathJax
為了顯示方程式（using LaTex syntax）使用了MathJax。
MathJax網頁： https://docs.mathjax.org/en/latest/index.html
其中Unofficial tutorial 裡面有一個項目是 Using MathJax in Blogger，會帶你到這個連結： http://holdenweb.blogspot.com/2011/11/blogging-mathematics.html
所以要在html mode裏面一開始加一段如他網頁裏面所寫的那段script（轉貼在下面），目前看起來可以正常使用。
<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); </script> <script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"> </script>
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2015.09.26
2015.10.02 直接把script貼在這裡備份
MathJax網頁： https://docs.mathjax.org/en/latest/index.html
其中Unofficial tutorial 裡面有一個項目是 Using MathJax in Blogger，會帶你到這個連結： http://holdenweb.blogspot.com/2011/11/blogging-mathematics.html
所以要在html mode裏面一開始加一段如他網頁裏面所寫的那段script（轉貼在下面），目前看起來可以正常使用。
<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); </script> <script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"> </script>
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2015.09.26
2015.10.02 直接把script貼在這裡備份
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