Exchange symmetry 與簡單的 Entangled State 例子

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考慮一個簡單的粒子，以兩種可能的態存在，分別表示為 | 0 > 和 | 1 >

現在考慮「兩個」這樣粒子的系統，我們可以用product state的方式來描述兩者合起來的狀態，例如 | 0 > | 1 > 表示「第一個粒子處在state 0而第二個粒子處在state 1」的態。此時有可能出現的組合態取決於粒子的性質，考慮不同的狀況如下：

A. 可分辨的粒子
    | 0 > | 0 >,
    | 0 > | 1 >,
    | 1 > | 0 >,  
    | 1 > | 1 >

B. 不可分辨的古典粒子
    | 0 > | 0 >,
    | 1 > | 0 >,  
    | 1 > | 1 >
其中  | 1 > | 0 > 和 | 0 > | 1 > 因為兩個粒子不可分辨並無法區分，所以算作一種。（也就是說知道系統處於「一個 0 一個 1」的態，但無法說哪一個粒子是 0 哪一個是 1）

C. 不可分辨的 bosons （symmetric wave function）
    | 0 > | 0 >,
    | 1 > | 1 >,  
    ( | 0 > | 1 > + | 1 > | 0 > )/$\sqrt{2}$
其中 | 1 > | 0 > 和 | 0 > | 1 > 本身是不符合的exchange symmetry的，但是其線性疊加則可以。

D. 不可分辨的 fermions （antisymmetric wave function）
   ( | 0 > | 1 >  -  | 1 > | 0 > )/$\sqrt{2}$

量子和古典的差別

古典理論中並無所謂的波函數疊加，粒子可能的態也就是 | 0 > 或 | 1 > ，事實上我們能真正直接觀察到的實驗結果也就是 | 0 > 和 | 1 > 兩種，這也是這裡開頭的說明「一個簡單的粒子，以兩種可能的態存在，分別表示為 | 0 > 和 | 1 >」所隱含的意思。

因此以上 A 和 B的差別就單純只是排列組合的數學中的可分辨與不可分辨。如果說 0 代表黑色、 1 代表白色，那麼 A 的意思就是你可以分辨 「1號黑+2號白」及「1號白+2號黑」兩種情形的不同；而 B 的情況就是你無法分辨兩者，你只知道「有一顆黑有一顆白」這樣了。

不過在量子力學中粒子的狀態（也就是波函數）可以是不同古典態的疊加，例如當有一個粒子處於 ( | 0 > + | 1 > )/$\sqrt{2}$ 這樣的態時，所代表的是當你以相應的測量去決定這一個的態時你有一半的機率得到 0、一半的機率會得到 1 的結果，以顏色的比喻來說就是你有一半的機會會發現這是一顆黑球、一半發現這是顆白球。

Exchange symmetry 及 bosons 和 fermion 的差別

其中 C 和 D 的差別在於波函數的 exchange symmetry。對於不可分辨的粒子來說，交換兩個粒子的位置後得到的波函數所對應或給出的「實際機率」應該要是和交換前相同，這是因為如果交換後的波函數給出的機率不同，我們就可以透過實驗去分辨到底現在的態是哪個粒子在哪個位置的態，也就表示我們可以區別兩種粒子了。

又由於「機率」是由「波函數的平方」決定，因此粒子不可分辨的條件其實是限制了交換位置前後的「波函數平方」要不變，回到「波函數」本身的話就會有兩種可能：交換前後波函數不變，或是交換前後波函數差一個負號。假設我們定 exchange operator 為 $\hat{P}_{12}$，以上的討論可以表示為：

$ |\psi(r_1, r_2)|^2 =  |\psi(r_2, r_1)|^2 $  及 $\hat{P}_{12} \psi(r_1, r_2) =  \psi(r_2, r_1) = \pm  \psi(r_1, r_2) $。

因此粒子根據其本身波函數的交換性質可以被分成兩類：
boson:    $\psi(r_2, r_1) = +\psi(r_1, r_2) $ (symmetric under exchange of particle)
fermion: $\psi(r_2, r_1) = -\psi(r_1, r_2) $ (antisymmetric under exchange of particle)

對fermion來說，若假設 $r_1=r_2$ 就會得到 $\psi(r_1, r_1) = -\psi(r_1, r_1) $，所以波函數只能為零，這也就是著名的 Pauli exclusion principle，說明了兩個fermion不能處於完全相同的state（在這裏只是位置，更一般來說是不能各種量子態都相同）。

糾纏態

( | 1 > | 0 > + | 0 > | 1 > )/$\sqrt{2}$
就是一個糾纏態的例子，因為此一波函數「無法被拆成兩個個別粒子態的乘積」，在這個糾纏太中當你測量發現一個粒子在 | 0 > 時則另一個一定會是 | 1 >，反之亦然。而
 ( | 0 > | 0 > + | 0 > | 1 > )/$\sqrt{2}$
就不是一個entangled state，因為他可以被拆成  | 0 > ( | 0 > + | 1 > )/$\sqrt{2}$
（  | 0 > + | 1 > 也是可能的個別粒子態）。

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參考： Concepts in Thermal Physics Chap. 29. Blundell & Blundell

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2015-11-11