Jeans Criterion

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恆星形成自星際雲氣的重力塌縮，而 Jeans criterion 則是用來判斷雲氣是否可能塌縮的一種指標。我們要如何判斷某團雲氣能不能塌縮呢？一種做法是透過比較（一）雲氣所俱有的重力位能和（二）雲氣俱有的熱動能何者較大來判斷。（雖然似乎並不很精確，見文末）

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由於萬有引力的存在，一團星際物質在自身重力的作用之下會傾向於收縮。同時，氣體粒子不斷運動碰撞所對應的熱壓力則傾向讓雲氣擴張。若將重力的效果想像成一個位能井，將粒子的熱動能想像成試圖脫逃的能量，則兩者的相對強弱就是雲氣是否能夠受重力塌縮的關鍵。如果系統的重力位能為 $\Omega$ （無限遠處定為零），氣體的總熱動能為 $U$，則Jeans criterion可以寫成 $\Omega+U<0$（或是 $| \Omega |>U$，因為 $\Omega$是負的。）

以下皆假設雲氣密度及溫度為定值並僅以球形進一步計算。

如何想像一團雲氣所蘊含的重力位能？我們可以當作所有的質量原本都在無限遠處（位能為零），再一點一點將整個系統組合起來看這過程中總共有多少能量改變。以球形來說可以想像成一層一層球殼往外組合：考慮某一層半徑為 $r$ 的球殼，在我們將這層球殼加入系統時，所有早先已加入的球殼形成了半徑為 $r$ 的實心球，質量為 $M'=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ ，而即將加入的球殼自己的質量為 $dM'=4\pi r^2 \rho dr$，因此這一新層球殼俱有的位能為 $-\frac{GM'dM'}{r}=-\frac{16}{3}G\pi^2 \rho^2 r^4 dr$。考慮所有球殼的位能，積分起來就得到了整團雲氣的重力位能：
$$ \Omega=\int_{0}^{M} -\frac{GM'}{r}dM' = \int_{0}^{R}-\frac{16}{3}G\pi^2 \rho^2 r^4 dr=-\frac{16}{15}G\pi^2 \rho^2 R^5 =-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$$
其中最後一個等式利用到關係式 $M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$ 將密度用質量和半徑取代表示。（假設雲氣不是球形，重力位能仍可以較一般性的寫為 $f\frac{GM^2}{R}$，其中前面的系數取決於系統的幾何形狀。）

另一方面，在溫度 $T$ 之下平均每個氣體分子的熱動能為 $\frac{3}{2}k_BT$，總粒子數為$M/m$（$m$ 為氣體的平均分子量），所以總熱動能為
$$U=\frac{3}{2}\frac{M}{m}k_B T$$
代回 $\Omega+U=-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}+\frac{3}{2}\frac{M}{m} k_B T<0$，整理得 $M>\frac{5}{2}\frac{k_B T}{Gm}R$，定義 Jeans mass $M_J \equiv\frac{5}{2}\frac{k_B T}{Gm}R$，則 $M>M_J$ 也就是 Jeans criterion。

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上述的結果顯示，當我們知道一團雲氣的大小以及溫度時，就可以計算對應的 Jeans mass，如果氣質的質量大過這個標準就表示雲氣可以因重力而塌縮。事實上，固定半徑（體積）時質量越大也就代表密度越大，所以同樣的事情也可表達成已知半徑（體積）之下密度必須大於某個標準才可以因重力而塌縮，這個密度就稱為 Jeans density。能夠這樣變換是因為 $M=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ 固定下了 $M, R, \rho$ 三者的關係，所以任一量可以用另外兩者取代表示。在上面的式子中使用了 $M-R$ 兩個變數表達了Jeans mass，如果換成 $\rho-M$, $R-\rho$ 的組合就會得到 Jeans density及 Jeans length。這數種不同的表達形式背後其實都只是同一件事情：將系統的重力位能和熱動能拿來比較罷了。

也許值得多想一下的是為什麼推導的結果是質量必須高過而不是低於 $M_J$ 才會塌縮？換句話說：固定溫度和半徑（體積）時，為什麼質量或密度增加就會變得容易塌縮呢？質量增加時氣體的熱壓力不是也上升了嗎？難道不會讓系統向外擴散出去？當然，這是因為重力也一樣受惠於質量的增加，所以就必須進一步看重力位能和熱動能誰受益較大了，回到上面的式子可以看出 $U\propto M$，而在固定 $R$ 時 $\Omega\propto M^2$，重力位能顯然受影響更多。

另外一個有趣的問題是如何理解比較抽象的 Jeans length，究竟一團雲氣是要大一點還是小一點才容易符合Jeans criterion呢？這可以類比上面的想法，看看改變半徑對重力位能和熱動能分別會如何影響：由於在密度固定的條件下，質量正比於半徑的三次方，所以重力位能 $\Omega \propto M^2 R^{-1} \propto R^5$；另一方面熱動能 $U \propto M \propto R^3$，比較之下可見半徑較大的雲氣會較容易符合 Jeans criterion。也就是在相同的密度之下，雲氣太小團也不是不行的。


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一些問題

其實 Jeans criterion 似乎有許多不同的版本，像是wikipedia上面介紹的就是從不穩定性出發的計算，也提到這個判準有在實際應用時也有其問題與限制。也有看到從virial theorem出發的描述，過程跟這裡寫的一樣，唯一不同的是使用的條件不是總能量小於零，而是總能量要小於virial quilibrium時的總能量（$\Omega+U < \frac{1}{2} \Omega$），因此會和這裡的結果相差兩倍。另外就是球體位能是跟系統的幾何形狀有關，所以不同假設也會影響到最後結果，使以這裡所寫下的 Jeans criterion 不宜被當作精確的結果來運用。

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參考：Concept in Thermal Physics

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2015.10.04