分部積分

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基本原理：
$$ duv = udv + vdu $$ $$ udv = duv - vdu  $$ $$ \int_{a}^{b} udv = \int_{a}^{b} duv - \int_{a}^{b} vdu  $$
所以
$$ \int_{a}^{b} udv = \left. uv\right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu  $$

實際考慮一函數 $F(x)$ 的積分
$$\int_{a}^{b} F dx$$
試著將 $\int F dx$ 轉化成 $\int udv$ 形式以用分部積分計算：將 $F(x)$ 拆成 $P(x)Q(x)$，則可寫成：
$$ \int Fdx = \int PQ dx = \int P d \tilde{Q}$$
其中 $\tilde{Q}$ 為 $Q$ 對 $x$ 的積分（$Q = \frac{d}{dx}\tilde{Q}$、$d \tilde{Q} = Q dx  $）。與 $\int udv$ 比較後可寫下：
$$ \int_{a}^{b} PQ dx = \int_{a}^{b} Pd\tilde{Q}= \left. P\tilde{Q}\right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \tilde{Q}dP $$
令$P^\prime = \frac{d}{dx}P$（$dP = P^\prime dx$）：
$$ \int_{a}^{b} PQdx =  \left. P\tilde{Q}\right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} P^\prime \tilde{Q}dx $$


這表示我們一開始在拆解 $F$ 時希望找到的是一個容易積分的 $Q$ 以及容易微分的 $P$。如果邊界條件使得 $\left. P\tilde{Q} \right| _{a}^{b}$ 一項容易計算（例如代入後為零），則關鍵就在於函數 $P^\prime \tilde{Q} $是否容易積分了。

以 $F=xe^{-x}$ 為例，有兩種方式直接拆解：
一：$P=x, Q=e^{-x}$ 則 $P^\prime = 1, \tilde{Q} = -e^{-x} $。 $P^\prime \tilde{Q} =  -e^{-x}$容易積分。
二：$P=e^{-x}, Q=x$ 則 $P^\prime = -e^{-x}, \tilde{Q} = \frac{x^2}{2} $。$P^\prime \tilde{Q} =  - \frac{x^2}{2}e^{-x}$並沒有比較容易積分。
因此，採取方法一為宜。可得
$$ \int_{a}^{b} xe^{-x} dx =  \left. -xe^{-x}  \right|_{a}^{b} -( \int_{a}^{b} -e^{-x}dx) = \left. -xe^{-x}  \right|_{a}^{b} - \left. e^{-x} \right|_{a}^{b}$$


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2015-11-27