化學勢、粒子數、溫度

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統計力學中的化學勢（chemical potential）和系統的粒子數有關，以電子為例，由於屬於費米子，故遵守
$$n(E)=\frac{g(E)}{e^{\alpha+E/kT} + 1}$$
其中 $g(E)$ 的表示可以先寫下free particle的density of state （空間和動量空間的分佈）
$$ g(p) dp =\frac{1}{h^3} 4\pi p^2 dp $$
加上電子的兩個自由度 $g_e(=2)$得到
$$ g(p) dp =g_e \frac{1}{h^3} 4\pi p^2 dp $$
然後用 $ p=\sqrt{2m_e E} $ （非相對論）代換得
$$ n_e(E)dE= g_e\frac{4\pi}{h^3}(2m_e^3)^{1/2}\frac{E^{1/2}}{e^{\alpha+E/kT} + 1}dE $$

其中的 $\alpha =-\mu/kT$ 其實會在積分裡扮演 normalization 的角色，由總粒子數等於 $n_e$ 由此條件可以寫下：
$$ n_e = \int n_e(E)dE $$
原則上可以由此一計算積分得到 $n_e=F(\mu, T)$，進而得到 $\mu(n_e, T)$


不過上述的積分並不直接，如果以古典情況下的 Boltzmann 分佈來近似則比較容易計算：
$$ n_e = \int  g_e \frac{4\pi}{h^3}(2m_e^3)^{1/2} E^{1/2}e^{ - \alpha - E/kT} dE
 = g_e \left( \frac{2\pi m_e kT}{h^2} \right)^{3/2} e^{-\alpha}$$
定義 $n_Q\equiv \left( \frac{2\pi m_e kT}{h^2} \right)^{3/2}  $ 並記得 $\alpha =-\mu/kT$，可以得到
$$ \mu = kT ln \left( \frac{n_e}{g_e n_Q}\right) $$
由於推導過程中採用的近似此式僅適用於非簡併態、非相對論速度（$n \ll n_Q$、$ kT \ll m_e c^2$）下的情況，由此式也可以看出在這樣的條件下 $\mu < 0$。  

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參考：
上課筆記
Clayton Chap 1.

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2015-12-02