了解恆星的能量從何而來是天文物理發展的一大重要基石，面對滿天繁星至少我們並不是一無所知。恆星漫長的一生中的絕大部份時光都是由核融合反應提供穩定的能量來源，其中的物理複雜，不過結果還算親切。
核融合的發生過程大致分成兩部分：第一部分是關於庫侖斥力以及穿隧效應，第二部分則和核物理有關。由於原子核帶正電而正電彼此互斥，所以要將兩個原子核靠近到非常近的距離勢必得要先克服庫侖斥力，也就是在粒子靠近時存在一個很高能量障礙得克服；而一旦兩個原子核能夠成功接近到強作用力的作用的範圍內，就有機會發生核反應並靠著強作用力將新的原子核綁在一起。雖然強作用力的作用足以克服庫侖斥力，但其運作距離極短，所以要達到夠近的距離就好比第一道門檻，先能夠跨越後發生核反應的機率還要取決核物理的部分，兩者合起來的結果才描述了核融合反應發生的機率。
具體來說，我們的目標是單位時間內每單位體積裡可以發生的反應次數 $r_{12}$ ，下標1和2表示參加反應的兩種粒子。 進一步可寫為 $r_{12}=n_1 n_2 <\sigma v>$ ，其中 $n$ 為粒子密度， $\sigma$ 為用以描述反應發生的可能性的截面積（cross section） ，$v$ 則為兩粒子的相對速度。由於在特定溫度 $T$ 下氣體粒子並不只有一種速度，其能量分佈會符合溫度 $T$ 時的Maxwell-Boltzmann分佈，所以以 $<\sigma v >$ 代表了對各種速度之下的 $\sigma v$ 值取平均之後的結果，方便我們直接描述在一特定溫度的反應狀況（而不是只指特定速度下的$\sigma v$）。核反應的性質在 $\sigma$ 的計算以及取平均的過程中將顯露一二。正如前面所說核融合的發生可以分成庫侖障礙和核物理兩個過程，所以 $\sigma$ 也分為兩個部分考慮，淨結果為兩者的乘積。
具體來說，我們的目標是單位時間內每單位體積裡可以發生的反應次數 $r_{12}$ ，下標1和2表示參加反應的兩種粒子。 進一步可寫為 $r_{12}=n_1 n_2 <\sigma v>$ ，其中 $n$ 為粒子密度， $\sigma$ 為用以描述反應發生的可能性的截面積（cross section） ，$v$ 則為兩粒子的相對速度。由於在特定溫度 $T$ 下氣體粒子並不只有一種速度，其能量分佈會符合溫度 $T$ 時的Maxwell-Boltzmann分佈，所以以 $<\sigma v >$ 代表了對各種速度之下的 $\sigma v$ 值取平均之後的結果，方便我們直接描述在一特定溫度的反應狀況（而不是只指特定速度下的$\sigma v$）。核反應的性質在 $\sigma$ 的計算以及取平均的過程中將顯露一二。正如前面所說核融合的發生可以分成庫侖障礙和核物理兩個過程，所以 $\sigma$ 也分為兩個部分考慮，淨結果為兩者的乘積。
「克服庫侖障礙」
想像當兩個帶正電粒子沿一直線相向而行，距離尚遠時兩者間有一初始相對速度，在靠近的過程中由於庫侖力的排斥兩者都受到向外的加速度而漸漸減緩，最終在某個距離下達到兩者相對停止，再向外漸漸加速離開。這個折返點的距離也就是兩個粒子能夠達到的最近距離，一開始兩者的相對速度越大，就可以衝得越靠近。若考慮一團氣體間彼此的相對碰撞速度，不難想像溫度越高代表粒子平均的運動速度越高，也就越能夠彼此靠近。事實上由於在特定溫度下氣體達到熱平衡時的能量遵守Maxwell-Boltzmann分佈，因此總是有一少部分粒子會俱有高於平均很多的能量，這對克服庫侖斥力來說算是個好消息。
然而，實際上單靠高溫還不能解釋恆星中核融合的發生，這是由於強作用力的範圍實在很短，在這個距離內的庫侖斥力太強，即使在恆星內部的高溫之下也無法使足夠多的粒子能推進到這麼短的距離，換句話說單靠著氣體動能的作用離目標還有一段路，而這最後一段路程就必須靠量子力學的穿隧效應來解釋了。
量子力學中不再將物質視為為一顆一顆粒子，而是透過波函數的方式描述，粒子所在的位置是以機率波的振幅來決定，而薛丁格方程式則是此波函數必須遵守的方程式。如前所述，一對固定相對速度的互斥粒子在古典物理中可以到達的最近距離為$r_c$，由於擺在面前的位能障礙，他們永遠無法到達強作用力所需要的更近的距離$r_n$。然而在量子力學告訴我們面對同樣位能障礙時波函數在$r_c$以內雖然會非常快速的降低，但並非瞬間就降為零，因此當波函數延伸到在$r_n$的位置時還是可以有一定機率在，也因此粒子是有機會能夠進入到強作用力作用範圍之內。若具體考慮粒子在$r_n$出現的機率和粒子在$r_c$出現的機率的比值，就可以得到穿隧的機率，其結果有如下性質
$$ P\propto e^{-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}},\quad E_\sigma=\frac{2\pi^2m_re^4Z_1^2Z_2^2}{\hbar^2}$$
其中 $E$ 為兩粒子在質心坐標系下的動能$E=\frac{1}{2}m_r v^2$，$m_r=m_1m_2/(m_1+m_2)$為reduced mass，而$E_\sigma$稱為 Gamow energy，$Z_1$, $Z_2$ 為兩粒子的電荷數。由函數的形式可以看出動能 $E$ 越高，粒子越有機會穿隧；而粒子帶電越多，庫侖斥力越強則$E_\sigma$越大，能夠穿隧的機率也就越小（因為同樣的能量對應到的古典折返點更遠了）。
「核反應」
前面所說的部分只關注兩種粒子如何靠著動能加上穿隧效應來到強作用力能夠作用的範圍，跨過這個門檻之後就是另一個問題：核反應本身是否會發生。關於強作用力弱作用力我其實一無所知，但就結果來說可以將 $\sigma$ 表示如下
$$\sigma(E) = \frac{S(E)}{E}e^{-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}}$$
其中後面指數函數的部分就是剛剛考慮庫侖力和穿隧效應得到的結果，而前面 $S(E)/E$ 就是描述核反應的部分了（$1/E$ 一方面使得後面計算方便，概念上也將反映截面積幾何效應的部分獨立出來），在非共振的情況下，$S(E)$ 是一個變化不快的函數。
「對速度平均」
對 $\sigma v$ 對整個速度分佈取平均，假設兩種粒子各自的數目為$n_1$和$n_2$，其分別俱有速度$v_1$和$v_2$的數目為$n_1(v_1)$和$n_2(v_2)$，則具體寫出來會像這樣：
$$<\sigma v>=\frac{1}{n_1 n_2} \int d^3v_1 d^3v_2\, n_1(v_1)n_2(v_2) \sigma(E)|v_1-v_2|$$
熱平衡時$n_1(v_1)$和$n_2(v_2)$分別都遵守MB分佈。轉到質心座標下運算這個積分，並假設 $S(E)$ 大約為定值，得到以下結果：
$$ <\sigma v>=(\frac{2}{kT})^{3/2} \frac{1}{\sqrt{\pi m_r}}S(E) \int dE\, e^{-\frac{E}{kT}-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}}$$
其中前面係數部分值得注意的是 $S(E)$， 作為核反應的cross section，其值在強作用力與弱作用力間約有20個數量級的差距。而積分中指數的部分 $-\frac{E}{kT}-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}$ 則清楚的揭露出兩種關鍵效應：第一項來自氣體能量的 Maxwell Bolrzmann 分佈，告訴我們在特定溫度下能量越高的粒子是越難找到的，其特徵能量尺度為$kT$。第二項則來自庫侖障礙及穿隧效應，告訴我們越高的能量的粒子才越有機會穿隧其特徵能量尺度是$E_\sigma$。值得注意的是$E_\sigma$的數量級落在MeV附近，而（以恆星中心溫度來說）$kT$ 的範圍卻落在keV附近，也就是說我們需要MeV附近的能量穿隧才能很有效率的發生，然而大部份的氣體粒子具有的能量卻在keV附近，遠低於穿隧能輕易發生的能量，也因此恆星裡的核融合反應其實是靠著MB分佈中高能端的尾巴在進行的。
若將兩個因素的結果綜合起來，可以找到一個核融合發生機率最高的能量 $E_0$（介於keV與MeV之間），接近$E_0$的時候才有較大的機率。可以利用此原因進一步的簡化：將函數對此峰值附近展開並以此完成積分得到近似的結果：
$$ <\sigma v>= 2.6 S(E_0) \frac{E_\sigma^{1/6}}{(kT)^{2/3}\sqrt{m_r}} e^{-3(\frac{E_\sigma}{4kT})^{1/3}}$$
於是我們可以回到一開始的目標：單位時間內每單位體積裡可以發生的反應次數 $r_{12}=n_1 n_2 <\sigma v>$ 。此結果幫助我們了解在溫度 $T$ 時的核融合發生的情況，而結果本身看起來並不是那麼恐怖 : P。
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物理真是一方面嚴謹，一方面也很實際。在各種近似與討論之中複雜的現象也可以得到合理的說明。
想像當兩個帶正電粒子沿一直線相向而行，距離尚遠時兩者間有一初始相對速度，在靠近的過程中由於庫侖力的排斥兩者都受到向外的加速度而漸漸減緩，最終在某個距離下達到兩者相對停止，再向外漸漸加速離開。這個折返點的距離也就是兩個粒子能夠達到的最近距離，一開始兩者的相對速度越大，就可以衝得越靠近。若考慮一團氣體間彼此的相對碰撞速度，不難想像溫度越高代表粒子平均的運動速度越高，也就越能夠彼此靠近。事實上由於在特定溫度下氣體達到熱平衡時的能量遵守Maxwell-Boltzmann分佈，因此總是有一少部分粒子會俱有高於平均很多的能量，這對克服庫侖斥力來說算是個好消息。
然而，實際上單靠高溫還不能解釋恆星中核融合的發生，這是由於強作用力的範圍實在很短，在這個距離內的庫侖斥力太強，即使在恆星內部的高溫之下也無法使足夠多的粒子能推進到這麼短的距離，換句話說單靠著氣體動能的作用離目標還有一段路，而這最後一段路程就必須靠量子力學的穿隧效應來解釋了。
量子力學中不再將物質視為為一顆一顆粒子，而是透過波函數的方式描述，粒子所在的位置是以機率波的振幅來決定，而薛丁格方程式則是此波函數必須遵守的方程式。如前所述，一對固定相對速度的互斥粒子在古典物理中可以到達的最近距離為$r_c$，由於擺在面前的位能障礙，他們永遠無法到達強作用力所需要的更近的距離$r_n$。然而在量子力學告訴我們面對同樣位能障礙時波函數在$r_c$以內雖然會非常快速的降低，但並非瞬間就降為零，因此當波函數延伸到在$r_n$的位置時還是可以有一定機率在，也因此粒子是有機會能夠進入到強作用力作用範圍之內。若具體考慮粒子在$r_n$出現的機率和粒子在$r_c$出現的機率的比值，就可以得到穿隧的機率，其結果有如下性質
$$ P\propto e^{-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}},\quad E_\sigma=\frac{2\pi^2m_re^4Z_1^2Z_2^2}{\hbar^2}$$
其中 $E$ 為兩粒子在質心坐標系下的動能$E=\frac{1}{2}m_r v^2$，$m_r=m_1m_2/(m_1+m_2)$為reduced mass，而$E_\sigma$稱為 Gamow energy，$Z_1$, $Z_2$ 為兩粒子的電荷數。由函數的形式可以看出動能 $E$ 越高，粒子越有機會穿隧；而粒子帶電越多，庫侖斥力越強則$E_\sigma$越大，能夠穿隧的機率也就越小（因為同樣的能量對應到的古典折返點更遠了）。
「核反應」
前面所說的部分只關注兩種粒子如何靠著動能加上穿隧效應來到強作用力能夠作用的範圍，跨過這個門檻之後就是另一個問題：核反應本身是否會發生。關於強作用力弱作用力我其實一無所知，但就結果來說可以將 $\sigma$ 表示如下
$$\sigma(E) = \frac{S(E)}{E}e^{-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}}$$
其中後面指數函數的部分就是剛剛考慮庫侖力和穿隧效應得到的結果，而前面 $S(E)/E$ 就是描述核反應的部分了（$1/E$ 一方面使得後面計算方便，概念上也將反映截面積幾何效應的部分獨立出來），在非共振的情況下，$S(E)$ 是一個變化不快的函數。
「對速度平均」
對 $\sigma v$ 對整個速度分佈取平均，假設兩種粒子各自的數目為$n_1$和$n_2$，其分別俱有速度$v_1$和$v_2$的數目為$n_1(v_1)$和$n_2(v_2)$，則具體寫出來會像這樣：
$$<\sigma v>=\frac{1}{n_1 n_2} \int d^3v_1 d^3v_2\, n_1(v_1)n_2(v_2) \sigma(E)|v_1-v_2|$$
熱平衡時$n_1(v_1)$和$n_2(v_2)$分別都遵守MB分佈。轉到質心座標下運算這個積分，並假設 $S(E)$ 大約為定值，得到以下結果：
$$ <\sigma v>=(\frac{2}{kT})^{3/2} \frac{1}{\sqrt{\pi m_r}}S(E) \int dE\, e^{-\frac{E}{kT}-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}}$$
其中前面係數部分值得注意的是 $S(E)$， 作為核反應的cross section，其值在強作用力與弱作用力間約有20個數量級的差距。而積分中指數的部分 $-\frac{E}{kT}-(\frac{E_\sigma}{E})^{1/2}$ 則清楚的揭露出兩種關鍵效應：第一項來自氣體能量的 Maxwell Bolrzmann 分佈，告訴我們在特定溫度下能量越高的粒子是越難找到的，其特徵能量尺度為$kT$。第二項則來自庫侖障礙及穿隧效應，告訴我們越高的能量的粒子才越有機會穿隧其特徵能量尺度是$E_\sigma$。值得注意的是$E_\sigma$的數量級落在MeV附近，而（以恆星中心溫度來說）$kT$ 的範圍卻落在keV附近，也就是說我們需要MeV附近的能量穿隧才能很有效率的發生，然而大部份的氣體粒子具有的能量卻在keV附近，遠低於穿隧能輕易發生的能量，也因此恆星裡的核融合反應其實是靠著MB分佈中高能端的尾巴在進行的。
若將兩個因素的結果綜合起來，可以找到一個核融合發生機率最高的能量 $E_0$（介於keV與MeV之間），接近$E_0$的時候才有較大的機率。可以利用此原因進一步的簡化：將函數對此峰值附近展開並以此完成積分得到近似的結果：
$$ <\sigma v>= 2.6 S(E_0) \frac{E_\sigma^{1/6}}{(kT)^{2/3}\sqrt{m_r}} e^{-3(\frac{E_\sigma}{4kT})^{1/3}}$$
於是我們可以回到一開始的目標：單位時間內每單位體積裡可以發生的反應次數 $r_{12}=n_1 n_2 <\sigma v>$ 。此結果幫助我們了解在溫度 $T$ 時的核融合發生的情況，而結果本身看起來並不是那麼恐怖 : P。
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物理真是一方面嚴謹，一方面也很實際。在各種近似與討論之中複雜的現象也可以得到合理的說明。
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參考：上課筆記
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2015.09.26
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